Решения головоломок ко второй книге В.Н. Белова «Возвращение в близкую даль».

SOLUTIONS,

или решения

День первый

Беспроигрышная рулетка

Не проигрывает только владелец игрового заведения.

Брат брата моего брата

Сын своих родителей.

Что за число?

Числа 1/2 или 2/2.

Если в головоломке идёт речь о половине самого числа х, из уравнения х² = х/2 находим х = 1/2. Тривиальное решение х = 0 отбрасываем. Если под «половиной» следует понимать 1/2, из уравнения х² = 1/2 получаем х = 2/2.

На работу

Вероятности одинаковы и составляют 3/8.

Пассажиры располагались в вагоне случайным образом, значит, каждый из них мог выйти или не выйти до Политехнической с вероятностью 1/2. Обозначим пассажиров номерами 1, 2, 3.

В первом случае возможны три разных независимых исхода: выходит 1-ый или 2-ой или 3-ий пассажир. Вероятность каждого исхода 1/21/21/2 = 1/8. Всего исходов три, значит, полная вероятность составляет 31/8 = 3/8.

Во втором случае вероятность вычисляют аналогично, она также составляет 31/8 = 3/8.

Продавец ручек

Ручки и пластырь уже предлагал другой коробейник.

Атака клонов

Вирусы могли находиться в первом компьютере.

Проанализируем каждый компьютер на предмет возможности отправления сообщений, полученных администратором. Если бы сообщения пришли от первого компьютера, то во втором сообщении был бы указан именно этот компьютер. Сообщения также не могли прийти от третьего компьютера, так как невозможно, чтобы из двух сообщений «В моём компьютере вирусы» и «Вирусы в третьем компьютере» одно оказалось истинным, а другое – ложным. Следовательно, сообщения поступили от второго компьютера. Они оба ложные, значит, вирусов нет ни в этом компьютере, ни в третьем. Остается первый компьютер. А были ли там вирусы? – неисповедимы пути и способы логического мышления…

Цветной телевизор

Номер 72.

Обозначим через x и y цифры номера, сам номер представим в виде 10x + y. При делении на целое число n получим уравнение (10x + y) : n = 4(x + y), из которого x = y (4n – 1)/(10 – 4n). Для n  1 в целых положительных числах существует единственное решение n = 2, x =7, y = 2.

Отметим, что номер 72 являлся отличным результатом непродолжительного пребывания в очереди. Что такое полгода в эпоху всеобщего дефицита?

Возраст Ивана

Не так много календарных лет от Рождества Христова, которые являются полными квадратами. К нашему времени примыкают годы 1936, 2025 и 2116. Приемлем лишь второй вариант, тогда в 2025-м году Ивану исполнится 45 лет. Значит, он 1980-го года рождения, а дальше не составляет труда определить его возраст.

Со старшими не спорят

Ивану 28 лет.

Пусть х – возраст Ивана, у – автора. 3 года назад им было х – 3 и у – 3 лет соответственно. Возраст Ивана был в два раза меньше, то есть х – 3 = (у – 3)/2. Через 22 года можно получить аналогичное уравнение: х + 22 = 2(у + 22)/3. Решение системы у = 28 лет.

Беглянка

За углом располагалась остановка. Даме пришлось бежать, чтобы успеть на подходящий трамвай.

Волчок

При раскручивании волчка центробежная сила включала электрический контакт, находящийся внутри. Конечно, там также имелась батарейка.

Кельтская лодочка

Дно лодочки несимметрично относительно её продольной оси, что делает вращение вокруг вертикальной оси неустойчивым и приводит к появлению момента сил трения, изменяющего направление вращения.

Трубка и шарики

Один из шариков представлял собой сильный магнит. При его падении в трубке возникали электрические токи, вызванные электромагнитной индукцией. Их магнитное поле согласно известному в физике правилу Ленца тормозило падение шарика-магнита.

Седьмой американский флот

Эта головоломка не имеет точного решения.

Используем следующие сокращения для обозначения девиц, персонажей головоломки: партийные – П, беспартийные – Б/п, блондинки – Бл, брюнетки – Бр, неприличные девушки – С, приличные девушки – Н. Зададим их категории как П·Бл·С – х₁, П·Бл·Н – х₂, П·Бр·С – х₃, П·Бр·Н – х₄, Б/п·Бл·С – у₁, Б/п·Бл·Н – у₂, Б/п·Бр·С – у₃, Б/п·Бр·Н – у₄.

Из условий головоломки может быть получена система уравнений:

х₁ + х₂ = (х₁ + х₂ + х₃ + х₄)/3

(х₁ + х₂ + х₃ + х₄)/3 = х₁ + х₃

(х₁ + х₃ + у₁ + у₃)/4 = х₁ + х₃

(х₁ + х₃)/5 = х₁

(х₁ + у₁)/9 = х₁.

Система содержит пять уравнений для шести неизвестных величин, а значит, не имеет единственного решения. Однако все уравнения диофантовы, их решения существуют только в целых положительных числах, что уменьшает неопределенность.

Необходимо найти величину у₄ = 428 – х₁ – х₂ – х₃ – х₄ – у₁ – у₂ – у₃ = 428 – 30х₁ – у₂.

В условиях некорректности достижимы разные наборы решений для различных х₁ и у₂. Например, для х₁ = 1 значение у₄ может варьироваться от 0 до 398 в зависимости от у₂. При х₁ = 14 область вариаций у₄ оказывается наименьшей: от 0 до 8.

Папанин или Водопьянов?

Папанин не выходил спасать Водопьянова, оставаясь в пункте Б1. Почему? – из-за того, что Водопьянов совсем не умел плевать.

Если отвлечься от фабулы головоломки, известно, что Водопьянов, действительно, не спасал Папанина и трёх его товарищей, хотя в 37-ом году именно он доставил экспедицию на Северный Полюс. Льдина, на которую высадилась экспедиция СП-1, прошла в океане около двух с половиной тысяч километров. За год дрейфа она уменьшилась в размере до сотен метров, поэтому тяжёлый самолет не мог приземлиться на неё. Полярников спасли ледоколы «Таймыр» и «Мурман».

Два графина с хересом

Для точного решения головоломки необходимо знать стоимость хереса.

Разбившийся графин был пустым, поэтому из него ничего не вытекло: посетители ресторана успели выпить находящийся в графине херес. Значит, за этот херес платить было не надо. Общая стоимость испорченного и разбитого: два пирожных (235 коп.) + два бефстроганова (278 коп.) + два вымени (239 коп.) + разбитый графин (639 коп.) + стоимость 800 граммов хереса, которую знает каждый ребёнок, то есть 5 руб. 38 коп. без стоимости хереса. За херес платим отдельно!

Минин и Пожарский

Оба двигались к Курскому вокзалу.

Им было бы невозможно встретиться на Курском вокзале, не пройди каждый маршрутом другого.

Сдача

30 рублей сдачи, как чётное число, можно получить при сложении двух чётных или двух нечётных чисел. Такими числами являются суммы денег в рублевых и в пятирублевых монетах. Чётными суммы окажутся при чётном количестве монет в каждой из них, тогда полное количество монет также будет чётным. Однако монет сдачи было девять, нечётное число. Если суммы окажутся нечётными, то общее количество монет также должно быть чётным. Но количество монет сдачи нечётное. Появляется неустранимое противоречие.

Строительные блоки

В движение придет лишь верхний блок, так как он лежит на том, который вытаскивают.

Сила трения пропорциональна весу блоков над поверхностью скольжения, по которой вытаскивают блок. Третий сверху блок прижат к четвёртому весом двух лежащих на нём блоков и его собственным весом. Для приведения его в движение надо приложить силу, которая наполовину больше силы трения второго блока о третий.

Однако, если выдергивать блок резким быстрым движением, то из-за инертности верхний блок может остаться на месте. Сходным образом удается выдернуть гладкую салфетку из-под чашки с чаем: чая не прольется ни капельки!

Выключатели

Поскольку дом старой постройки, под крышей использованы лампы накаливания, которые не только светят, но и греются. Даже после выключения лампа длительное время остается теплой. Кстати, люминесцентные лампы также греются. Этим воспользовался Иван. Он выбрал два выключателя. Включил первый, подождал некоторое время, выключил, затем включил второй, после чего быстро взобрался на чердак. Если лампа горела, её включал второй выключатель, если не горела, но была теплой, её включал первый. Если не наблюдалось ни того, ни другого, процедуру следовало повторить с двумя другими выключателями. Повторное отсутствие результата означало, что лампу включал не использованный ранее пятый выключатель.

Результат Саныча

Вероятность составляет 1/2.

Места распределяют согласно количеству очков, набранных игроками. Одно очко дают за победу в партии (В), половину очка – за ничью (Н), ноль очков – за проигрыш (П). Следовательно, Саныч набрал 1,5 очка.

Существуют два различных способа достижения такого результата. Он мог две партии проиграть одному игроку, со вторым же одну партию сыграть вничью, а другую выиграть (вариант I). Он также мог проиграть каждому другому игроку по партии, затем с одним из них сыграть вничью, а у другого выиграть (вариант II). Согласно условию головоломки все игроки были никакими, то есть результат каждой партии случаен.

Шансы Саныча на второе место зависели от того, как два других игрока сыграли между собой. Очередность партий совершенно не важна. В двух партиях других игроков возможны шесть исходов: ВВ – ПП, ВП – ПВ, ВН – ПН, ПП – ВВ, ПН – ВН, НН – НН. Слева и справа указаны результаты партий согласно использованным выше обозначениям.

Объединяя шесть случаев и два варианта, имеем двенадцать равновероятных исходов. Остается только рассчитать количество очков, набранных двумя другими игроками при различном развитии событий. Сложим их очки, включая те, которые были получены в играх с Санычем. Для варианта I в порядке перечисленных случаев очки составят: 4,0 – 0,5; 3,0 – 1,5; 3,5 – 1,0; 2,0 – 2,5; 2,5 – 2,0; 3,0 – 1,5. Для варианта II: 3,5 – 1,0; 2,5 – 2,0; 3,0 – 1,5; 1,5 – 3,0; 2,0 – 2,5; 2,5 – 2,0. В трёх исходах существует игрок, который набрал меньше 1,5 очков. Значит, Саныч займет второе место с вероятностью 3 : 12 = 1/4. Он поделит второе-третье места в трёх других исходах, когда один из двух других игроков, как и он сам набрал 1,5 очка, то есть с вероятностью 1/4.

Полная вероятность благоприятных для Саныча исходов составляет 1/2, или фифти-фифти.

День второй

Пятницы

Не более пяти пятниц.

4 полные недели составляют 28 дней, в них содержатся 4 пятницы. Даже если 28 дней содержат 3 полные и 2 неполные недели, в них по-прежнему содержатся 4 пятницы. Любой месяц, кроме февраля невисокосного года, имеет большее количество дней. Может ли в них оказаться дополнительная пятница? Да, если пятница приходится на первые 5 дней месяца, содержащего 31 день, на первые 4 дня месяца, содержащего 30 дней, на 3 дня февраля високосного года, в котором 29 дней.

Новый робот

Робот-водолаз.

Фамилии являются анаграммами названий профессий. В названии робота сочетание «300» можно рассматривать и как число, и как буквы: одну букву «з» и две буквы «о». Составив анаграмму, легко определить назначение робота.

Шесть плюс четыре

Число 11 следует представить латинской цифрой XI, затем горизонтально разделить ее пополам. Появятся два числа VI и IV, то есть 6 и 4, которые в сумме дают 10.

Кусок доски

От трёх до пяти углов.

В результате отпиливания оставшаяся часть доски может приобрести форму треугольника, четырехугольника или пятиугольника.

Спички

В коробке 44 спички.

Число 616 можно представить в виде произведения простых множителей 1222711. Произведение части из них должно давать количество коробков в пирамиде. Это количество вовсе не произвольно. Пирамида из двух слоёв содержит 1 + 22 = 5 коробков, из трёх – 1 + 22 + 33 = 14, из четырёх – 30, из 5 – 55, из 6 – 91, из 7 – 140, из 8 – 204, из 9 – 285, из 10 – 385. Произведение простых множителей числа 616 позволяет получить число 14. Значит, в каждом коробке 616 : 14 = 44 спички.

Зазеркалье.

Плоское зеркало является плоскостью симметрии. Оно не переставляет, а отражает. Вот у меня есть перебинтованный палец на правой руке и родинка на правой щеке – и я смотрю в зеркало. Там я вижу человека с родинкой на левой щеке. Который копирует все мои гримасы. И у которого забинтован палец на левой руке. Но это же не я! И моя правая рука в зеркале – вовсе не моя левая рука. Она – всего лишь отражение правой руки.

Возьмём теперь сильно вогнутое зеркало. Там я увижу себя с родинкой на правой щеке! И перебинтованный палец на правой руке! Что и получилось после двойного отражения меня в зеркалах.

Занимательное чтение

В рукописи было 12 страниц.

На странице печатного текста помещается около двух тысяч знаков, значит, в сохранившейся части рукописи содержалось около десяти страниц. Обозначим: х – первоначальное количество страниц текста, 2у – хорошо сохранившиеся страницы, у – рваные и грязные, z – отсутствующие страницы.

Выше учтено, что соотношение количества хорошо сохранившихся и испорченных страниц не зависит от их соразмерного увеличения.

Из условия головоломки можно получить два уравнения: х = 2у + у + z = 3у + z и z = 3х/7. Тогда количество оставшихся страниц: 2у + у = 3у = х – z = 4z/3. Отсюда у = 4z/9. Возможны различные решения в целых положительных числах, например: z = 9, у = 4; z = 18, у = 8 и так далее. В приведённых случаях 3у составит 12 и 24, но только первый вариант отвечает объему рукописи.

Литр воды

Если не учитывать операции наполнения сосудов водой и выливания воды из них, потребуется восемь переливаний из сосуда в сосуд. Существует ли более короткий способ?

Обозначим сосуды как «» и «е». 1-е переливание: наполним «е» и перельём воду в «». В «» останется 0,424 литра. 2-е переливание: наполним «е» и отольём воду в «», ровно столько, чтобы наполнить «» целиком. В «е» останется 2,294 литра. Воду из «» выльем. 3-е переливание: перельём воду из «е» в «», а затем снова наполним «е». 4-е переливание: перельём из «е» в «» ровно столько воды, чтобы наполнить «» целиком. В «е» останется 1,870 литра, воду из «» выльем. 5-е переливание: воду из «е» перельём в «», а «е» снова наполним. 6-е переливание: из «е» отольём воду в «», чтобы наполнить «» целиком. В «е» останется 1,446 литра, воду из «» выльем. 7-е переливание: из «е» перельём воду в «». Наполним водой «е». 8-е переливание: перельем из «е» в «» столько воды, сколько туда поместится. В «е» останется 1,022 литра воды. Желаемый результат достигнут.

Вода и лёд

При замерзании объём воды увеличивается на 1/9.

Положим, что х – объём льда, у – получившейся после таяния льда воды. При таянии льда: у(1 – 1/10) = х, при замерзании получившейся после таяния воды: х(1 + к) = у, где к – искомая часть объёма. Отсюда к = 1/9.

Фальшивая монета

Вначале проводят взвешивания трёх стопок из двух монет. Возможны два варианта.

Первый. Вес стопок одинаков, значит, фальшивой монеты в них нет. Вес настоящей монеты находят как половину веса стопки. Затем взвешивают одну из оставшихся монет. Если её вес совпадает с весом настоящей монеты, то фальшивой является монета, которую не взвешивали. Если вес монеты отличается, фальшивой является она.

Второй. При взвешивании трёх стопок вес одной стопки отличается от веса двух других. Значит, фальшивая монета находится в ней. Вес настоящей монеты находят как половину веса стопок с одинаковыми весами. Из стопки с фальшивой монетой берут монету и взвешивают её, затем, как в предыдущем варианте, определяют: фальшивая она или нет.

Акции

Вопрос был таким: «Что сказал бы Ваш коллега о том, стоит ли покупать акции «Рубин-клуб»? Этого вопроса достаточно, так как рекомендация конторы всегда будет противоположна полученному ответу. Клерк, который не лжет, даст неправильный ответ, зная о таком ответе соседа. Другой клерк из чувства противоречия также даст неправильный ответ, который противоположен правильному ответу соседа.

Рукопожатия

Закавыку следует искать в некорректности головоломки. В условии не сказано, что все пары были супружескими. Это означает, что гости из пар, не состоящих в браке, вполне могли пожать друг другу руку, к примеру, если пришли на ужин в разное время. Рассматривать варианты рукопожатий дело утомительное и ненужное.

Цилиндр и шар

Площади одинаковы.

Пусть D – диаметр шара, площадь его поверхности составляет 4(D/2)² = D². Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра: DD = D²

Яйцо или курица?

Вопрос не является корректным, стоит раздвинуть горизонт мысли. Действительно, разве речь идет только о курином яйце? Известно, что динозавры откладывали яйца миллионы лет назад, задолго до появления птиц.

Другое решение предложил британец Джон Брукфилд из университета Ноттингема, основываясь на постулатах эволюционной генетики. Первая птица, которая была курицей, изначально существовала как эмбрион в яйце – кому бы ни принадлежало это яйцо. И это яйцо уже имело ту же самую ДНК, что и будущий цыплёнок.

Рыцари

Пешим был рыцарь из Франции, конным – из Англии.

По условию головоломки ложными могут быть одно или оба утверждения. Истинными оба утверждения оказаться не могут. Если одно из утверждений истинно, а другое ложно, то оба рыцаря оказываются из одной страны, что противоречит условию. Остается единственный вариант: оба рыцаря сказали неправду.

Крышка от кастрюли

Край крышки должен не доходить до центра кастрюли примерно на 1/5 часть её радиуса.

Для решения головоломки лучше не использовать аналитическую геометрию, это доставит одну головную боль. Самый разумный способ решения состоит в том, чтобы начертить на миллиметровой бумаге две пересекающиеся окружности одинакового радиуса. Площади подсчитывают по ограниченным ими миллиметровым клеточкам, откуда нетрудно получить искомый результат.

Если захотите выполнить точный расчёт, удобно выбрать полярную систему координат, начало которой совмещают с центром крышки. Формализовав вычисления площадей относительно раствора q угла, под которым из начала координат видны точки пересечения крышки и кастрюли, можно прийти к трансцендентному уравнению q= sinq +  /2. Перед этим придется основательно помучиться со знаками тригонометрических функций, а также с невразумительной оплошностью тригонометрии под названием «арксинус».

Решение уравнения: q = 2,30988 радиан. Сдвиг a крышки и её радиус R связаны соотношением a / R = 2cos(q/2) = 0,80795. Это точное решение.

Кастрюля и крышка

Второй квадрат больше.

Диагональ первого квадрата равна радиусу R окружностей, поэтому его сторона составляет а = R/2 = 0,707R.

Центр второго квадрата находится на расстоянии R/2 от центров окружностей. Пусть х – расстояние от центра стороны квадрата до окружности, причем это расстояние отсчитано вдоль соединяющей центры окружностей прямой. Отрезок от центра квадрата до центра его стороны (вдоль той же прямой) равен половине стороны квадрата и составляет а/2 = R/2 – х. Отрезок от центра окружности до центра стороны квадрата имеет длину R – х. Оба отрезка являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус. По теореме Пифагора R² = (R – х)² + (R/2 – х)², откуда х = 0,089R, а сторона квадрата а = 2(R/2 – х) = R – 2х = 0,823 R.

Салфетки

При любом повороте верхней салфетки она закрывает четверть площади нижней.

Вращение происходит вокруг центра нижней салфетки, при этом верхняя салфетка всегда вырезает прямоугольный сектор. Если построить продолжения сторон верхней салфетки, они поделят нижнюю салфетку на четыре идентичной формы части, имеющие одинаковые площади.

Узор из квадратов

Общая площадь вписанных квадратов равна площади салфетки, общий периметр примерно в два с половиной раза больше периметра салфетки.

Обозначим сторону салфетки как а. Сторона вписанного в салфетку квадрата равна а/2, следующего в 2 раз меньше, то есть а/2, и так далее. Общая площадь вписанных квадратов дает убывающую геометрическую прогрессию а²/2 + а²/4 + а²/8 + … = (а²/2)(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) = (а²/2)2 = а².

Общий периметр квадратов составляет 4а/2 + 4а/2 + 4а/(22) + … = 22а(1 + 1/2 +1/2 + 1/(22) + …) = 4а/(2 – 1) = 4а2,414.

Часы с кукушкой

Первый случай. Маятник часов приводит в движение не только вес гири, но и вес цепочки, на которой закреплена гиря. Укорачивание цепочки уменьшает силу, действующую на маятник, что замедляет ход часов.

Второй случай. При высоких летних температурах маятник удлиняется, а это увеличивает его момент инерции и также замедляет ход часов.

Шарики

В первом случае вес коробок одинаков, во втором случае коробка с мелкими шариками окажется тяжелее.

Пусть R – диаметр шариков, l₁, l₂, l₃ – размеры коробки. По каждой стороне коробки укладываются N₁ = l₁/(2R), N₂ = l₂/(2R), N₃ = l₃/(2R) шариков соответственно, их общее количество в коробке N = N₁N₂N₃ = (l₁l₂l₃)/(8R³).

В первом случае объем шарика, который пропорционален его весу, составляет V = 4R³/3, а общий объем (вес) NV = (l₁l₂l₃)/6. Объем шариков, как и вес, зависит только от объема (l₁l₂l₃) коробки. Поскольку коробки одинаковы, то и вес шариков одинаков. Отметим, что объем шариков составляет /6  0,524 часть от объема коробки.

Во втором случае вес шариков пропорционален общей площади их стенок S = 4R²N = 4R²(l₁l₂l₃)/(8R³) = (l₁l₂l₃)/(2R), то есть обратно пропорционален радиусу шариков. Чем меньше шарики, тем больше вес коробки.

Открытый космос

Астронавт был удален от места крепления страховочного фала к станции на максимальное расстояние, то есть на десять метров. Ящик с инструментами оказался с обратной стороны от места крепления на расстоянии пять метров. Поэтому расстояние от астронавта до инструментов, действительно, составляло пятнадцать метров. Однако инструменты можно было легко достать, если они не удалились более чем на десять метров от места крепления.

День третий

Мушиные бега

Для мух в вершинах квадрата время до встречи составляет a/v, а в вершинах треугольника – 2a/3v, где a – длина стороны квадрата или треугольника, v – скорость движения мух.

Пусть мух четыре. Перейдем во вращающуюся систему отсчета, связанную с мухами. Её начало совместим с центром квадрата. Расстояние любой мухи до центра квадрата, места их общей встречи, составляет l = a/(2cos45^о) = a/(22/2) = a/2.

Скорость движения мухи к центру v_ц = vcos45^о = v2/2. Это означает, что муха, двигаясь к центру квадрата с постоянной скоростью, достигнет его через промежуток времени t = l/v_ц = a/v.

Если мух три, то l = a/(2cos30^о) = a/(23/2) = a/3, а скорость их движения к центру треугольника v_ц = v×cos30^о = v3/2. Мухи встретятся через t = l/v_ц = 2a/3v.

На равных расстояниях

Кроме мух в вершинах квадрата известны ещё два расположения. Первое. Три мухи находятся в вершинах правильного треугольника, а четвёртая занимает место в его центре. Второе. Мухи находятся в вершинах ромба с углами 60^о и 120^о, у которого одна из диагоналей равна стороне ромба.

Муха в банке

Банка станет тяжелее при взлете мухи.

Существует распространенное заблуждение, что вес банки во всех случаях окажется одинаковым. Верный ответ можно получить лишь при учете того, что закрытая банка, воздух в ней и муха представляют собой механическую систему, свойства которой определяет поведение центра масс системы.

Из классической механики известно, что изменение положения центра масс может произойти только под действием внешней силы, направленной в сторону его перемещения. Если муха сидит или летает в горизонтальной плоскости, центр масс не движется по вертикали. При спуске мухи центр масс движется вниз. Это происходит за счёт использования части силы тяжести системы, значит, вес банки с мухой (сила давления на весы) уменьшается. При взлете мухи нужна дополнительная сила, обеспечиваемая реакцией со стороны весов, поэтому давление на весы возрастает.

Как происходит взаимодействие мухи с банкой? Если муха сидит, она непосредственно воздействует на банку своим весом. Если муха летает, то крылышками она создает воздушные потоки, от которых как бы «отталкивается». Потоки воздуха, в свою очередь, оказывают давление на стенки и дно банки. Если муха взлетает, то для сообщения ей ускорения нужна дополнительная сила отталкивания от воздуха, превышающая вес мухи. Эта сила приводит к увеличению веса банки.

Кошка и собака

Согласно условию головоломки (СОБАКА)/3 = КОШКА, или 3(КОШКА) = СОБАКА. Если каждой букве числового ребуса сопоставить цифру, получим 357350 = 172050.

Дуэль не по правилам

В первом случае вероятность остаться в живых составляет 1/2, во втором – 1/3.

Первый случай. Одинакова вероятность того, что любой из дуэлянтов первым выбрал пистолет, поэтому возможны четыре равновероятных исхода. Если первый выбор у Пушкина, он может взять как исправный, так и неисправный пистолет. Подобные исходы у Дантеса. Из четырех возможных исходов у Пушкина оказываются два благоприятных, их вероятность 2 : 4 = 1/2. Дуэль честная. Учтите, что право выбора пистолета первым и выбор исправного пистолета являются независимыми событиями.

Второй случай. Равновероятных исходов три. Если по жребию Дантес выбирает пистолет первым, то Пушкин, безусловно, погибает. В двух других исходах первым выбирает пистолет Пушкин, но он может сделать как правильный, так и неправильный выбор.

Из двух исходов благоприятным для него является только один, что определяет шанс Пушкина остаться в живых, а именно 1/3.

Реальные шансы исхода дуэли можно представить, прочитав публикации Сергея Макеева «Как убивали Пушкина» в еженедельнике «Совершенно секретно» №2 (февраль 2005) и №3 (март 2005). Из которой явствует, что множество факторов сыграли роковую роль в судьбе великого русского поэта, включая провокации Геккерена, Дантеса, Екатерины Гончаровой и Идалии Полетики. Что касается родины предков Пушкина, то она не имеет никакого отношения к Эфиопии. Тот же еженедельник в публикации Игоря Андреева (1999 год) сообщал, что их родиной является Центральная Африка. А точнее – место обитания потомственных рыбаков народности котоко на южном берегу озера Чад, то есть на границе сегодняшних государств: Камеруна и Чада. Совершенно фантастическая версия убийства великого поэта изложена на нашем сайте в ЖЖ С.Б.Маковским – см. его опус «Правда о Дантесе» - (Т.В.)

Подарок из Америки

13 витков.

Пусть длина шнура l, диаметр трубки D, ее длина L, а необходимое количество витков N. Разрежем трубку с намотанным на неё шнуром вдоль оси с одной стороны и развернём боковую поверхность вместе с витками шнура. Получится прямоугольник, длина которого равна длине трубки, а высота совпадает с длиной окружности D внешней части трубки. Этот прямоугольник можно представить как N прямоугольников меньшего размера, ширина каждого из которых равна L/N. Шнур идёт по диагонали этих прямоугольников, длина каждого витка (диагонали) согласно теореме Пифагора составляет S = ((D)² + (L/N)²)^1/2. Полная длина шнура NS = l, откуда N = (l² – L²)^1/2/(D)  13 витков с точностью до десятой процента.

День четвёртый

Носки

По максимуму надо вынуть 4 носка. Вероятность получить пару с первой попытки составляет 3/11.

При самом неблагоприятном стечении обстоятельств первые 3 носка окажутся разного цвета. Четвертый носок всегда составит пару ранее вынутому. Результат не зависит от количества пар носков каждого цвета.

Шанс вынуть пару за один раз определяет цвет второго носка: либо он того же цвета, что и первый, либо нет. Какого цвета ни оказался бы первый носок, среди оставшихся 11 носков только 3 носка имеют тот же цвет. Вероятность составляет 3/11.

Кран на кухне

Ночью включал воду вернувшийся с работы сосед из квартиры сверху. Изношенный кран создавал громыхание, распространяющееся вдоль стояка с водой. Человек просыпался и открывал свой кран, давление в стояке падало, грохот прекращался. Вот только вода текла всю ночь…

Рандеву с грибами

Было собрано 120 боровиков.

Обозначим количество боровиков, собранных с востока, запада и севера как x, y и z соответственно. Из условия головоломки следуют три уравнения:

x = (46 + y + z)/3

y = (46 + x + z)/4

z = (46 + x + y)/5

Учтём, что сумма S = 46 + x + y + z даёт полное количество грибов, тогда приведённые выше уравнения можно преобразовать к виду: x = S/4, y = S/5, z = S/6. Значит, с востока от поляны была собрана 1/4 часть всех грибов, с запада – 1/5, с севера – 1/6. С юга была собрано 1 – (1/4 + 1/5 + 1/6) = 23/60 часть грибов. Полное количество боровиков S = 46 : (23/60) = 120 штук.

Былинный богатырь

Обычно приключения сами находят богатыря, поэтому он выбрал прямую дорогу, и не просто так. Стоило следовать тому указателю, который давал истинную информацию, лишь тогда существовала определенность относительно грядущей опасности. А вот указатель надо было определить.

В порядке перечисления обозначим утверждения под указателями как 1, 2 и 3. Утверждение 3 не может оказаться истинным, так как будет противоречить самому себе. Утверждение 1 также не может оказаться истинным, ибо вступит в противоречие с утверждениями 2 и 3. Истинно только утверждение 2. Значит, дорога вела богатыря туда, где не надо было расставаться с жизнью - только с портками. Невелика потеря.

Где вы, принцессы?

Справедливым является высказывание Космы.

Сопоставим пары высказываний, чтобы найти в них противоречия. Если в какой-то паре противоречий нет, именно эта пара может оказаться ложной, а истинным окажется третье высказывание.

Высказывания Агаи и Космы непротиворечивы, если количество спасенных принцесс составляет от одной до девятисот девяноста девяти. Эти высказывания не могут оказаться ложными одновременно, иначе ложным окажется высказывание Водника, так как Гордей не смог бы спасти тысячу принцесс, если бы не спас меньшее их количество.

Высказывания Водника и Агаи непротиворечивы при количестве принцесс от одной до тысячи. Если оба высказывания ложные, то Гордей не спас ни одной принцессы. Именно в такой ситуации высказывание Космы становится истинным, так как ноль спасенных принцесс меньше тысячи.

Гробокопатели

Между шаром, полом подземного коридора и его стенами остается свободное пространство, в которое без труда может поместиться человек.

Если d – диаметр шара, то размер свободного пространства, отсчитанный по диагонали коридора, составляет S = (d/2)2 – d/2  0,2d. Это разность расстояния от центра шара до нижнего угла коридора и радиуса шара. При диаметре шара 4 метра S равно почти 0,8 метра. Достаточно, чтобы укрыться.

Любимая сказка

Никогда.

Надо принять во внимание, что через два шага выполняют шаг той же ногой, которой начали движение. К завершению первого шага папы Карло, шагающего левой ногой, Буратино завершает второй шаг, то есть шагает правой ногой. Дальше папа Карло начинает шаг правой ногой, Буратино – левой. По завершении шага папы Карло правой ногой оба шагнут левой. Такая последовательность будет повторяться через каждые два шага папы Карло.

Можно подойти к поиску решения с другой точки зрения. Чтобы совместно шагнуть правой ногой, папа Карло и Буратино должны одновременно совершить нечётное количество шагов. Однако на любое целое количество шагов папы Карло приходится чётное количество шагов Буратино. Увы, не шагнуть им правой ногой вместе.

Змеиные шкуры

19 шкур.

Используем следующие обозначения для стоимости покупок в змеиных шкурах: x – стоимость пучка, y – стоимость склянки. Из условия головоломки следует, что 5y < 13x < 6y, откуда 5y/13 < x < 6y/13. Это неравенство легко переписать относительно искомого количества шкур 2x + 3y, а именно 49y/13 < 2x + 3y < 51y/13. Решение существует только в положительных целых числах. Путём перебора можно найти значения y, при которых в интервале, заданном неравенством, окажется целое число. Наименьшее значение y = 5, для него x = 2, при этом 2x + 3y = 19. Следующие решения для 2x + 3y дают 27, 35 и так далее.

Сколько нас было

Приведенные расчёты, хотя и претендуют на правдоподобность, не учитывают то, что все мы имеем неимоверное количество общих предков. Нельзя их складывать по отдельности, полагая разными людьми. Если следовать Библии, всё началось с Адама и Евы.

Простые расчеты

В первом случае не учтено, что х² =  х. Неверный выбор знака приводит к парадоксальному результату. Во втором случае х – х = 0, а деление на нуль некорректно, так как не имеет смысла. К примеру, любое число, умноженное на нуль, даст нуль. Это не означает, что все числа равны.

Ягоды в двух кружках

В кружках находились 4 и 20 ягод.

Пусть х и у – количества ягод в кружках. Из условия головоломки следует уравнение ху = 5(х – у). Его можно преобразовать к виду: у = 5х/(х + 5) = 5 – 25/(х +5). Решение в целых положительных числах единственно: х = 20, у = 4.

Ягоды в трёх кружках

В кружках 2, 3 и 5 ягод.

Полное количество ягод можно представить как произведение простых множителей числа 30: 111235, тогда количество ягод в отдельной кружке определяет один из наборов: 1, 1, 30; 1, 2, 15; 1, 3, 10; 1, 5, 6; 2, 3, 5. Только последний набор отвечает дополнительному условию.

Коровы Ньютона

20 коров.

Трава растёт одинаково и постоянно, независимо от того ели её коровы или нет. Из условия головоломки следует, что за 24 дня травы, включая выросшую за это время, было съедено 7024х = 1680х, где х – количество травы, съедаемое коровой за день. За 60 дней травы было съедено 3060х = 1800х. Трава росла дополнительные 36 дней, а выросло её на 120х больше. Следовательно, за день вырастало 120х : 36 = (10/3)х травы. При сравнении с 24 днями за 96 дней вырастет (96 – 24)(10/3) х = 240х травы.

Пусть искомое количество коров у. При сравнении травы, съеденной ими, с травой, съеденной 70 коровами, можно получить уравнение: 7024х + 240х = 96ух. В левой части уравнения учтено количество травы, которую съедают 70 коров за 24 дня, а также количество травы, выросшей за 72 дополнительных дня. Решение у = 20.

Игра в кости

Каждый кубик может упасть на любую из шести граней, поэтому из 36 равновероятных исходов одновременного бросания двух кубиков 35 не дают выигрыша. Вероятность не выкинуть две шестерки составляет 35/36. Результаты бросания кубиков независимы, так что вероятность не выкинуть две шестерки после 24-х бросков составляет (35/36)²⁴  0,5086. Вероятность обратного события 1 – 0,5086 = 0,4914. При длительной игре проигрывает тот игрок, который поставил на две шестерки.

Древние барельефы

Шестиугольных медальонов было больше.

Обозначим: x – количество пятиугольных медальонов, y – шестиугольных. Согласно условию головоломки (5x + 6y) + (x + y) = 33, откуда x = (33 – 7y)/6. Это уравнение имеет единственное решение в целых положительных числах: x = 2, y = 3.

Бусы

Четвёртую часть всех бусин.

Обозначим рассматриваемую бусину символом *, а расцветку половин бусины как Б – белая и Ч – черная части. Возможны четыре одинаково вероятных варианта расположения соседних бусин вокруг искомой бусины: Б–*–Б, Ч–*–Ч, Б–*–Ч, Ч–*–Б. Вероятность желаемого расположения бусин составляет 1/4, таково же общее количество искомых бусин.

Несколько монет

По монете достоинством 1, 2 и 5 рублей.

Ныне в обращении находятся монеты достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей. Последняя почти исчезла, но ходят слухи, что она скоро возродится. Поскольку монет в кармане было «несколько», их количество вряд ли превышало пять.

Обозначим количество монет в порядке их предыдущего перечисления как x, y, z и k. Из условия головоломки можно получить уравнение 1x + 2y + 5z + 10k = 1^x2^y5^z10^k – 2. При увеличении значений y, z, k правая часть уравнения растет существенно быстрее левой, поэтому возможные решения находятся в области малых значений этих величин. Самый большой вклад в рост правой части вносит k. Следует учесть, что увеличение х приводит к росту левой части, но не оказывает влияния на правую.

Решения с монетой 10 рублей являются экзотическими, например, x = 78, y = 0, z = 0, k = 2. Не менее забавным выглядят другие решения: x = 6, y = 4, z = 0, k = 0; x = 13, y = 0, z = 2, k = 0; x = 58, y = 0, z = 3, k = 0. Приемлемое решение в целых положительных числах: x = 1, y = 1, z = 1, k = 0. Стоит полагать, в кармане находились три монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей.

День пятый

Батарейки

Шанс равен 1/6.

Вероятность вынуть заряженную батарейку составляет 1/2 (из 4 батареек заряжены только две), вероятность во второй раз вынуть заряженную батарейку – 1/3 (из 3 оставшихся батареек заряжена только одна). Общая вероятность составляет 1/21/3 = 1/6.

Книга и дерево

Общим является слово «лист», а именно: лист книги – лист дерева.

Тысяча

Речь не о спичках, а о числе. Его складывают из четырех спичек в виде буквы М, означающей тысячу в латинице.

Наизнанку

В первом случае решение возможно, так как для переворачивания четырех монет необходимо перевернуть их чётное количество раз. А именно, для переворачивания одной монеты орлом вниз надо совершить нечётное количество переворачиваний: одно, три, пять и так далее, для четырёх – чётное. При одновременном переворачивании трёх монет происходит нечётное количество переворачиваний, значит, выбрав правильный алгоритм и совершив чётное количество одновременных переворачиваний, удастся перевернуть все четыре монеты. Обозначим монеты цифрами от 1 до 4, перевернутые монеты пометим звездочками. Возможный вариант решения: 1, 2, 3, 4  1*, 2*, 3*, 4  1*, 2, 3, 4*  1, 2*, 3, 4  1*, 2*, 3*, 4*.

Во втором случае монеты перевернуть не удастся, так как для переворачивания трёх монет необходимо нечётное количество переворачиваний. Его не получить из чётного количества одновременных переворачиваний двух монет. Желаемый результат недостижим.

Метизы

В десять раз вероятнее потерять метизы из разных пар.

Вероятность оказаться потерянными для метизов одинакова. Если потерян какой-то метиз, то из 11 оставшихся лишь один будет парным, а 10 других не подойдут. Соответствующие вероятности составляют 1/11 и 10/11.

Стать старше

Через год, действительно, можно стать старше на три года. Только «через год» следует понимать так же как «послезавтра», когда «сегодня» от «послезавтра» отделяют три календарных дня, если учитывать дни начала отсчёта и его завершения. Точно так же этот год от года «через год» отделяют три календарных года, пусть и неполные.

Булыжники

Можно.

Представьте, что два булыжника имеют возможность беспрепятственно проникать друг в друга. Линии пересечения их поверхностей дают искомую кривую. Таких кривых существует множество.

Что общего?

Слово «мот», которое входит в слова «промотать» и «жмотиться». Использованные в словах названия частей тела человека находятся как в начале, так и в конце, как сзади, так и спереди. Буква «д»: «д»ела, исхо«д», «д»ейство, похо«д». Слово «пробка»: транспортная пробка, пробка в бутылке, монтажная пробка в стене, электрическая пробка, пробка, или засор, канализационной трубы. Слово «рак»: т«рак»тир, буе«рак», Ка«рак»умы, т«рак»тор, «рак», ка«рак»ули. Инфернальные создания: не«бес»а и «демон»страция, или де«монстр»ация.

Квадрат и четверть

Одна четвёртая.

Необычное сложение

Складывают числа календаря, например: 25-е февраля + 10 дней = 7-е или 6-е марта; 25-е апреля + 10 дней = 5-е мая; 25-е марта + 10 дней = 4-е апреля.

Загадки

Можно, если вода превратилась в лёд. Рыба. Верёвка. При варке яйца оно сначала получается всмятку, затем крутым, а вот с лихачём на дороге всё происходит наоборот. Это дочь.

Повозка и комната

Было сказано: «Отдам комнату».

Если бы должник отдал повозку, то его заявление было бы ложным, а повозку он должен отдать только в случае истинного заявления. Он не может отдать и комнату, ибо тогда его заявление будет истинным, а комнату он отдает, если его заявление ложное. Хозяин казино простил долг находчивому игроку.

Чурбак

Вначале бревно надо распилить вдоль его оси, затем сложить половинки и снова распилить вдоль оси перпендикулярно первому распилу. Получившиеся четыре части снова складывают и распиливают их посередине перпендикулярно оси. В результате появится восемь одинаковых полешек, чем не ножки для двух табуретов?

Лёша и клоп

Предложение является палиндромом, оно одинаково читается как с начала, так и с конца.

Ядовитый гриб

Ядовитым является средний гриб.

Левый гриб не может оказаться ядовитым, иначе другие утверждения окажутся ложными. Правый гриб также не ядовитый, так как другие утверждения окажутся истинными. Остается средний гриб, в этом случае ложным будет утверждение правого гриба.

Арт-тур

Буквам арифметических ребусов соответствуют цифры: 2⁶ = 64, 16² =256.

Подарок с неба

Каждый из мужиков поначалу считал, что смеется над двумя другими. Самый сметливый понял, что если бы вороны не запачкали и его, то один из двух других мужиков понял бы, что смеются и над ним. После этого он начал бы отчищать свой картуз.

Женитьба

Сергуша поочередно женился на двух сёстрах, но во втором браке умер. Значит, в первый раз он женился на сестре своей вдовы.

Ведро кваса

Решений головоломки много, так как урегулирование житейских проблем не регламентировано. Вот некоторые варианты.

Первый. Если ведро Ромши, действительно, больше двухведёрной бадейки, то оно может иметь объём больше объёма трёх нормальных вёдер. В такой ситуации из бочки вначале наполняют бадейку, а остатки кваса выливают в ведро Ромши. После этого из бадейки сливают квас в бочку, а в освободившуюся бадейку отливают квас из ведра Ромши. В результате одно ведро кваса остается у Ромши.

Второй. Надо использовать все пустые емкости, находящиеся в доме, чтобы слить в них квас из бадейки. Если второй раз наполнить бадейку, в бочке останется ровно ведро. То, что требовалось.

Третий. Достаточно ограничиться бадейкой, но при этом надо выпить два ведра кваса. Кто сказал, что сразу? Можно, если квас не прокис в результате переливаний.

Копны

7 копен.

Для решения головоломки введем следующие обозначения: n – количество копен год назад, х – количество возов сена в каждой копне год назад, у – количество возов сена в нынешней копне. Из условия головоломки можно получить два уравнения: nх = (n – 2)у + 1 и (n – 2) + у = 12. Первое соотносит количество возов сена год назад (левая часть) и нынешних (правая часть), второе учитывает дополнительное условие.

Из второго уравнения получаем n = 14 – у. Подставив n в первое уравнение, находим: х = у – (2у – 1)/ (14 – у). Решения в целых положительных числах: х = 5, у = 4, n = 9 и х = 4, у = 11, n = 3. Второе решение не отвечает условию головоломки, так как даёт только одну новую копну.

Натуральные числа

Вариант решения: 1 = 1^{2 + 7}, 2 = 21⁷, 3 = (7 – 1)/2, 4 = 7 – 2 – 1, 5 = (7 – 2)/1, 6 = 7– 2 + 1, 7 = 7^{2 - 1}, 8 = 7 + 2 – 1, 9 = (2 + 7)1. Конечно, возможны другие варианты.

Какая цифра?

Слово «четыре» соответствует трём, так как содержит три гласные буквы.

Необычные числа

Названия цифр чисел идут в алфавитном порядке слева направо.

Близнецы

Следует дважды спросить: «Ты сын Витьши?» Оба ответа могут быть либо утвердительными, либо отрицательными, либо утвердительным и отрицательным. Дальше всё понятно…

Репа против огурцов

Репу следует менять в соотношении 1: 2,4.

Пусть репы каждого размера приходится на равное количество х огурцов мены. Всего репы выдернуто х/3 + х/2 = 5х/6. Если репу из смеси менять в соотношении 1 : у (у – огурцы) то количество репы составит 2х/у, отсюда уравнение 2х/у = 5х/6. Его решение у = 12/5 = 2,4. Значит, репу следует менять в соотношении 1 : 2,4, но не в соотношении 1 : 2,5, как можно было бы предположить.

Отчего не прокукарекать?

Мужикам хотелось веселее, что означало быть битым по носу: все их бобы белые. Вовше, как поборнику гуманистических ценностей, пришлось съесть один боб, так как выбора не оставили. Надо сохранять лицо, иначе за человека считать не будут.

День шестой

Молодая поросль

Вторая сосенка только начала расти.

В порядке перечисления обозначим как x, y и z высоту, которую сосенки имеют нынче. Поскольку они росли с одинаковой скоростью, в качестве единиц их высоты используем недели роста. Из первой части головоломки можно установить, что третья сосенка имела суммарную высоту двух других z – (x + y) недель назад. Вторая сосенка в то время имела высоту y – (z – (x + y)), которая совпадает с высотой х первой сосенки в настоящее время, то есть y – (z – (x + y)) = х, или 2y – z = 0. Из второй части головоломки явствует, что третья сосенка имела высоту второй z – y недель назад, когда высота второй сосенки составляла y – (z – y) = 2y – z, однако 2y – z = 0. Это означает, что вторая сосенка лишь начала расти.

Загадки

Соль. Месяц.

Родственники

В квартире пять жильцов: родители, их дочь, муж и сын дочери.

Газетный лист

Одиннадцать сгибаний дают стопку около 2000 листов, так как 2¹¹ = 2048. Представьте очень толстую книгу, легко ли согнуть её пополам?

Вяленая рыба

До вяления в рыбе было 100,7 = 7 кг воды и 3 кг сухого остатка. Пусть после вяления рыба весит х кг, воды в ней х0,2 кг, а сухого остатка х0,8 кг. Вес последнего, как и перед вялением, составляет 3 кг, значит, вес вяленой рыбы х = 3 : 0,8 = 3,75 кг. Меньше, чем было вначале, но рыба окажется изысканно вкусной, особенно к пиву.

Кого ждём?

Работников коммунальных служб: электрика, сантехника, плотника и так далее…

Бесплатная рубаха

Старая рубаха стоила пять рублей, эти деньги приказчик мог вернуть в обмен на рубаху. До цены новой рубахи у покупателя не хватало пяти рублей, простая арифметика…

Кабаны

Кабаны могут пробраться только до середины леса, так как затем будут выбираться из него.

Загадки

Тень. Не купишь молодость, не продашь старость.

Лекарство

«Папа»«зол».

Шурупы и болты

Один из вариантов «закручивания» состоит в следующем. В бруске делают поперечное отверстие. С помощью проволочных держалок, пропущенных сквозь горлышко бутылки, в это отверстие с разных сторон бруска поочередно вставляют по половинке шурупа или болта с намотанными на них веревочками. Потянув за веревочку, выпущенную сквозь горлышко бутылки, половинки можно вкрутить в отверстие, после чего возникает иллюзия целостности вкрученного. Все операции производят внутри бутылки.

Шар в банке

Шар представлял собой тонкостенный пластмассовый мячик. Вначале его смяли, чтобы протолкнуть в горлышко, а затем расправили внутри банки. Для придания шару веса его заполнили водой или песком, после чего аккуратно запаяли или заклеили использованное отверстие. Появилась видимость цельного пластмассового шара, который невозможно поместить в банку.

Исчезающие монеты

В коробочку по диагонали вставлено зеркало, создающее иллюзию пустоты из-за отражений стенок. Монеты падали в скрытую зеркалом часть коробочки.

Рубли и доллары

Долларовые купюры были заранее уложены под ленту, соединяющую оба валика. Сбоку она имела вид восьмерки. Вначале купюры намотали на один из валиков. Во время демонстрации устройства рублевые купюры вставляли с другой стороны ленты. При вращении валиков в обратном направлении лента наматывала рубли на свободный валик, разматывая доллары с «заряженного» валика.

Стрела в колечке

Размоченная в воде или обработанная паром древесина обладает удивительной пластичностью, что используют при изготовлении невозможных объектов, в том числе описанной головоломки. Кроме того, часто применяют «рыбий клей». Этот клей также используют при изготовлении высококачественных музыкальных инструментов и стрелковых луков. А ещё клей применяют шутники, которые склеивают расколотую на части деревянную часть головоломки. Шов от склейки, выполненной под прессом, неразличим на древесине.

Как известно автору, существуют другие варианты изготовления головоломки, над которыми стоит поразмышлять читателям.

Гвоздь в цилиндре

В отличие от предыдущей головоломки секрет мог заключаться в гвозде, изготовленном из пластмассы. Поверхность пластмассы металлизирована, а это делает фальшивый гвоздь внешне неотличимым от обычного. Чтобы вставить такой «гвоздь» в отверстие цилиндра, его надо предварительно нагреть и согнуть. Распрямить нагретую пластмассу не составляет особой проблемы.

Англичанин, представивший головоломку, поступил иначе. Шляпкой гвоздя был болт, который по резьбе вкручивался в отверстие внутри гвоздя. Всех обманул!

Монета в бутылке

Монета и бутылка были самые настоящие. Секрет состоял в том, что монету перед помещением в бутылку сгибали, чтобы она прошла сквозь горлышко. А вот распрямляли монету внутри бутылки, при этом были нужны специальные тиски. Детали тисков закладывали в бутылку через её горлышко, затем собирали тиски внутри бутылки. После распрямления монеты тиски разбирали и вынимали их детали наружу.

Фокус с монетой

Фокус во многом отличается от головоломки, воплощенной в материале, хотя в обоих случаях требуется немалое мастерство. Монета была распилена на три части, соединенные друг с другом тонкой резинкой, что позволяло монете складываться при прохождении сквозь горлышко бутылки. Однако разрезы были выполнены настолько аккуратно, что даже с расстояния в несколько десятков сантиметров монета казалась цельной. Фокусник демонстрировал зрителям другую монету, которую профессионально скрывал в руке.

Неизбывная сила тяжести

Монета подвержена силе сопротивления воздуха, которая действует противоположно направлению движения (вектору скорости) монеты. При подъёме сила сопротивления складывается с силой тяжести, действующей на монету, при спуске вычитается из нее. На одной и той же высоте ускорение монеты при движении вверх будет больше, чем при движении вниз. Следовательно, скорость монеты при подъёме уменьшается быстрее, чем растёт при спуске. Вывод один: при подъёме скорость уменьшится за меньшее время, чем вырастет до начальной скорости бросания. Значит, падение займет больше времени.

Если приведенные выше рассуждения покажутся малоубедительными, проанализируйте изменение механической энергии монеты в результате работы силы сопротивления воздуха. Это позволит определить соотношение скоростей движения монеты вверх и вниз.

Распродажа

11,7 пиастров.

Пусть x – полное количество изумрудов первого сорта, причем y из них имеют дефекты. Полная стоимость проданного складывалась от продажи изумрудов первого сорта 5,1(x – y) и от продажи изумрудов второго сорта 3,9 (20 – x), а именно: 5,1(x – y) + 3,9(20 – x) = 78 + (1,2x – 5,1y). Чтобы сумма не зависела от x, скобка должна обратиться в нуль, то есть 1,2x – 5,1y = 0. Отсюда x = 4,25y. Возможны различные наборы целых положительных значений x и y: x = 17, y = 4; x = 34, y = 8 и так далее.

Полное количество камней равно 20, значит, решением является первый набор. Камней первого сорта было 17, причем 4 из них оказались с дефектами. Камней второго сорта было 3, их стоимость составила 11,7 пиастров.

Ювелирный аукцион

Как минимум 2 покупателя.

Алмазы не приобрели 2 покупателя, гранаты 1 покупатель, топазы 3 покупателя. Если это разные люди, их общее количество составляет 6. Значит, как минимум два покупателя приобрели все разновидности камней.

Три камня

Вероятность составляла 1/6.

Обозначим камни в порядке их перечисления цифрами 1, 2 и 3. Существует шесть равновероятных исходов вынимания камней: 1–2–3, 1–3–2, 2–1–3, 2–3–1, 3–1–2, 3–2–1. Только один исход удовлетворяет поставленному условию.

Изумруды и рубины

Рубин один, так как при наличии двух рубинов всегда есть шанс вынуть их вместе, тогда среди трех камней окажется только один изумруд.

Другие камни

В мешочке три разных камня.

Внутри не может быть ни двух сапфиров, ни двух топазов, так как при вынимании двух таких камней третьим может оказаться изумруд. По той же причине изумрудов также не может быть два.

Золото партии

5 пластин.

Квадраты целых положительных чисел, задающие площадь (и вес) золотых пластин в квадратных дюймах, могут оканчиваться лишь шестью цифрами: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Это следует из правила возведения в квадрат: 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81. Различных «некруглых» площадей набирается пять (ноль не учитываем), столько же пластин.

Один среди других

Шансы одинаковы.

Вероятность достать алмаз из первого мешочка составляет 1/5, так как один алмаз приходится на пять камней.

Для второго мешочка расклад сложнее. Рассчитаем вероятность не вынуть алмаз в пяти попытках. Для первой попытки вероятность составит 24/25 (из 25 камней 24 не являются алмазами), для второй попытки 23/24 (осталось 24 камня, 23 из них не являются алмазами), для третьей – 22/23 (23 и 22 камня соответственно) и так далее. Все исходы являются независимыми, их общая вероятность составляет 24/2523/2422/2321/2220/21 = 20/25 = 4/5. Следовательно, вероятность вынуть алмаз в одной из пяти попыток 1 – 4/5 = 1/5.

Учтено, что вероятность достать или не достать алмаз является вероятностью достоверного события, которая равна 1. Шансы оказываются равными, хотя в это очень трудно поверить.

Сколько монет?

10 монет.

Если к монетам добавить еще две, то их общее количество должно делиться на 3, 4, 6 и 12. Учтём, что число 12 является произведением простых множителей 3, 2 и 2, число 6 является произведением простых множителей 3 и 2, а число 4 есть произведение простых множителей 2 и 2. Из этих множителей востребованы только три: 3, 2 и 2, тогда наименьшее количество монет составит 322 – 2 = 10.

Почти трисекция

Нельзя.

После очередного распиливания динариев могут быть получены х кусков, включая целые динарии. Если у из них снова распилить на три части, то результатом будут (х – у) + 3у = х + 2у кусков. Такое соотношение сохраняется после каждого распиливания.

После первого распиливания (до распиливания х = 3, нечетное число) были получены 3 + 2у кусков золота. Их количество нечетное, так как у является целым числом. После любого следующего распиливания количество кусков снова окажется нечётным. Чётное число 148 получить не удастся.

Два волчка

Шансов больше у игрока, выбравшего второй волчок.

Для первого волчка вероятность упасть на сектор 60⁰ составляет 60⁰/360⁰ = 1/6, на сектор 30⁰ – 1/12, на сектор 270⁰ – 3/4. При достаточно большом количестве закручиваний волчка средняя набранная сумма 51/6 + 71/12 + 33/4 = 3,67. Для второго волчка размер сектора и вероятность волчка упасть на него: 90⁰ – 1/4, 180⁰ – 1/2. Средняя сумма 41/4 + 51/4 + 31/2 = 3,75. Этот вариант предпочтительнее.

Дальние броски

Вероятности составляют 1/8 и 3/8.

В очередности бросков 2-й игрок – 1-й игрок – 2-й игрок возможны восемь равновероятных исходов (1 – попадание в ведёрко, 0 – промах): 1–1–1, 1–1–0, 1–0–1, 1–0–0, 0–1–1, 0–1–0, 0–0–1, 0–0–0. В одном исходе первый игрок проигрывает два броска, а в трех исходах - один. Соответствующие вероятности 1/8 и 3/8.

Перемножим…

Обозначим через x и y первую и вторую цифры числа. Согласно условию головоломки необходимо получить 10x + y = x  y, откуда y = x (y – 10). Поскольку 1 y  9 (y не равно нулю, иначе произведение x  y обращается в нуль), получаем, что x < 0, чего не может быть. Искомого числа не существует.

… а затем сложим

Обозначим через x и y первую и вторую цифры числа. Согласно условию головоломки необходимо получить 10x + y = x + y, откуда 9x = 0 или х = 0. Искомого числа не существует.

Загадки

Седло. День и ночь. Рак. Очки.

Какое место?

Второе, так как остался участник, занимавший первое место.

День седьмой

Сколько участников?

4 участника.

Согласно условию головоломки количество N участников турнира должно быть чётным и больше двух. Обозначим через х количество очков, набранных лидирующей половиной игроков, тогда аутсайдеры набрали x/2 очков. Каждый из N участников сыграл с другими N – 1 участниками. Поскольку игры парные, то их состоялось N(N – 1)/2. В каждой игре разыгрывались 2 очка, поэтому всего набрано 2N(N – 1)/2 = N(N – 1) очков. С другой стороны, это количество составляет x + x/2 = 3x/2, откуда следует квадратное уравнение относительно N: N(N – 1) = 3x/2. При чётном N наименьшее решение в целых положительных числах: N = 4, х = 8.

К о н е ц

1.    Персоналии
2.    История знаковых игр
3.    Наша игротека
4.    Головоломки, лингвистические игры
5.    Теория
6.    Прикладные аспекты
7.    Наши рецензии
8.    Журнал в журнале
9.    Другие статьи