Генель В. Рождение новой змеи.                                            15 стр.

 

В поисках неизвестного

 

«Это своего рода пространственный танграм»,- сказал Эрне Рубик о своей «волшебной змее». И допустил неточность. Тан­грам - игра из различной формы фрагментов некоего целого, например квадрата. «Змея» же вся состоит из одинаковых дета­лей - треугольных призм (рис. 1). В чём тут секрет? Почему призмы так точно укладываются друг к другу, образуя совершен­ные формы, почему квадратные грани концевых призм идеально, без перекосов, совпадают при любых извивах «змеи»? Ответ на этот вопрос проливает свет и на другой: почему головоломка - «змея» существует в единственном варианте?

В мире запатентованы сотни, выпущены десятки головоло­мок - аналогов венгерского кубика, все возможные многогран­ники рассечены всеми мыслимыми плоскостями. А «змея» - од­на... Хотя не совсем, есть еще кубик-«змея», малоизвестная голо­воломка, сворачивающаяся в однообразные прямоугольные структуры. Но именно она даёт ответы на все вопросы. «Змея» Рубика - та же цепочка кубиков, только рассеченных пополам по диагонали. Играя с ней, мы, сами того не замечая, играем в кубики. Просто яркий признак кубиков - квадратные грани - умело скрыт от наших глаз, а выставлены прямоугольники-сече­ния и половинки квадратов - прямоугольные треугольники.

Так почему же в «змеином» мире нет разнообразия? Почему фантазия не идёт дальше варьирования раскраски и размеров? Причины здесь глубже, чем ограниченность конструкторской мысли, - причины, видимо,  в  структуре нашего пространства. Про­стые детские кубики несут в себе очень важную идею: они точно укладываются друг к другу, потому что являются простейшей пространственной мозаикой.

Вот и названо ключевое слово разгадки - мозаика, то есть структура, построенная из фигур, плотно уложенных друг к дру­гу, без зазоров. Теперь ясно, почему нельзя брать любые много­гранники и соединять их в цепочку, лишь бы совпали грани. Нель­зя даже менять пропорции и углы у известных «змеиных» кир­пичиков-кубиков и призм. Такие попытки были, некоторые идеи подобного рода даже опубликованы, но явно без экспери­ментальной проверки. Ведь, будучи реализованы, эти змееподоб­ные монстры демонстрируют полную неспособность образовывать структуры. Они свиваются в аморфные клубки с несовпадающи­ми гранями.

Рис 1. «Змея» Рубика.

 

Казалось бы, путь построения новых игр ясен - берём эле­менты любой другой пространственной мозаики, соединяем их - и готово, есть новая головоломка. Однако есть ещё одно «но». Элементы должны не просто складываться в мозаику, но и иметь возможность поворачиваться, при этом опять укладываясь в ту же мозаичную структуру. Кубики или их половинки умеют это, а, например, кирпичи (прямоугольные параллелепипеды), тоже дающие мозаику, нет. Значит, нужна не любая, а правильная гео­метрическая мозаика, элементы которой могут быть повернуты и при этом самосовместятся гранями. Иначе говоря, на роль эле­ментов новой «змеи» могут претендовать центральносимметричные многогранники с гранями в виде правильных многоугольни­ков, другими словами - платоновы тела или их комбинации и усечения (рис. 2). Вместе с тем известно, что мозаики образуют только кубы или усечённые октаэдры, что не приносит ничего но­вого.

 

Рис.2. Правильные многогранники и усечнный октаэдр:

а – тетраэдр; б – октаэдр; в- куб; г – икосаэдр; д – додекаэдр; е - усечённый октаэдр.

 

 

 

Рис. 3. Устройство «змейки» Генеля.

 

Неужели тупик? Неужели богатое семейство многогранников не может предложить ничего нового, более интересного, чем древние, как мир, кубики? Стоп! Почему бы не допустить, что элементы цепочки могут быть разными. И тогда сразу обнаружи­вается пара многогранников, удовлетворяющая всем условиям. И не просто многогранников, а именно платоновых тел.

Октаэдры и тетраэдры, перемежаясь, заполняют пространство без промежутков, самосовмещаются при поворотах, но цепочка из них получается какая-то невыразительная (все грани - тре­угольники), а главное - никак не удается свернуть её без пустот. Что-то мешает, нет гармонии. Всё правильно, ведь плотности рас­пределения тетраэдров и октаэдров в пространстве соотносятся как 2:1. На два тетраэдра приходится один октаэдр, а в цепочке их поровну. Другими словами, если достаточно большое про­странство заполнить тетраэдрами и октаэдрами и сосчитать коли­чество тех и других, то тетраэдров окажется вдвое больше, чем октаэдров. Это легко понять, если вспомнить, что у тетраэдра че­тыре грани, а у октаэдра - восемь. Поэтому тетраэдр имеет че­тыре соседа, а октаэдр - восемь. В «змейке» у каждого элемента соседей поровну - по два. Так и хочется, чтобы наша «змейка» могла проходить дважды через октаэдрические ячейки этой воображаемой мозаики.

Так рассечём октаэдры пополам! И сразу все становится на свои места. На каждый тетраэдр приходится половина октаэд­ра, появляются дополнительные грани - квадратные сечения. Итак, новая «змея» должна состоять из чередующихся правиль­ных пирамид - четырёхгранных (полуоктаэдры) и трёхгранных (тетраэдры) - всего 24 пары. Остался последний шаг - соеди­нить пазами смежные грани каждого из полуоктаэдров, чтобы тетраэдры имели возможность перескакивать с грани на грань,- и новая «змейка» родилась (рис. 3).

 

 

Возможности «змейки» Генеля чрезвычайно широки (рис. 4). Одних только центральносимметричных фигур четыре - ок­таэдр, усечённый октаэдр, треснувший куб и странная фигура с пирамидальными впадинами (назовем её «мяч»). Следом идёт ряд осесимметричных фигур - «пирамида», «шлем», «дзот», «цветок», «вазы», «шкатулка» и др. Среди них попадаются инте­ресные «архитектурные формы», такие, как «дом», «шалаш». Чем ниже уровень симметрии, тем больше разнообразие, причём мож­но проиллюстрировать все виды симметрии. Например, «цве­ток» - лучевая симметрия, «гусеница» - трансляционная.

 

Рис. 4. Фигуры, складываемые из «змейки» Генеля:

Ф – октаэдр; б – «дом»; в – усеченный октаэдр; г – «мяч»; д – пирамида; е – «дзот»; ж – треснувший куб; з – «шалаш»; и – «шлем»; к – цветок; л – «шоколад»; м – соты; н – «ваза 1»; о – ваза 2»; п – «дракон»; р – кристалл; с – «шкатулка»; т – «тюльпан»; у – «большая шкатулка»; ф – «гусеницы»; х – усеченный тетраэдр; ц– «уж»; ч – «снежинка»; ш – «щетка»; щ – «пружина»; э – винт.

 

Самое важное то, что у нашей «змейки» сохранилось общее достоинство всех «змей» - полинаправленность игры, наличие несчётного количества состояний, достижение которых является целью в игре с головоломкой. Можно попытаться сложить извест­ную фигуру, можно искать что-то своё. При этом существуют различные уровни сложности. Самый простой - плоские структу­ры, например «шоколад» или «соты». Наиболее сложные - высо­косимметричные фигуры, допускающие единственное решение, такие, как октаэдр. Существует и архипростой, нулевой уровень сложности - контурные фигуры. Наша «змейка» позволяет сложить ряд контурных многоугольников - треугольник, квад­рат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, шестиугольник, целую вереницу «звёзд».

 

Симметрии форм

 

«...Значений у слова «симметрия» существует множество... В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметричные матрицы). В логике существуют симметрические отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии... Интересно интерпретиру­ется понятие симметрии в биологии. Там описываются шесть раз­личных видов симметрии. Мы узнаём, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатераль­ной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в му­зыке и в хореографии (в танце). Она зависит от чередования тактов. Оказывается, многие народные танцы и песни построены симметрично» (Вернер Гильде. «Зеркальный мир»).

Такое разнообразие толкований понятия «симметрия» требует уточнения, о какой именно симметрии идет речь. Мы понимаем под симметрией наличие у предмета возможности самосовме­щаться при определенных преобразованиях. Преобразования включают в себя операции симметрии. Основных операций сим­метрии три - зеркальное отражение, поворот (вокруг оси или точки) и сдвиг (другими словами, перенос или трансляция). С некоторыми оговорками к операциям симметрии можно отнести пропорциональное увеличение (уменьшение).

Зеркальную симметрию, думается, комментировать не надо. Радиальная, или лучевая, симметрия означает, что фигура может быть самосовмещена при повороте вокруг некоторой оси. Транс­ляционной симметрией обладают, например, периодические паркеты (то есть наборы плоских многоугольников, которыми без просветов можно покрыть бесконечную плоскость), самосовмещающиеся при параллельном переносе на определенное расстоя­ние.

Абсолютно симметричными можно считать только бесконеч­ные паркеты - при любом их ограничении пограничные элементы при переносе вылезут за край. С этой точки зрения трансляцион­ная симметрия фигуры «гусеница» (рис. 4) тоже приближенна, что на практике вполне допустимо. Еще более приближенной яв­ляется симметрия «сот». В идеальном случае спиральная симмет­рия предполагает самосовмещение при повороте с одновремен­ным изменением размера. В таком виде это преобразование к «сотам» неприменимо, но спираль все же явно видна. Будем счи­тать «соты» наброском спиральной симметрии.л

Еще один интересный тип симметрии - винтовую - демонст­рируют фигуры «винт» и «пружина». К ним применимы опера­ции трансляции с одновременным поворотом. Винтовая симмет­рия не допускает наличия у фигуры зеркальных плоскостей, но иногда разрешает операцию поворота без трансляции. Эти фигу­ры самосовмещаются при повороте на 180°, поскольку имеют по два симметричных витка. Одновитковый «винт» (попробуйте сло­жить его сами) обладает исключительно винтовой симметрией. Возможно, вам удастся сложить и треёвитковый «винт».

При наличии центральной симметрии каждой точке фигуры соответствует точка на прямой, проходящей через центр симмет­рии, которая отстоит от него на том же расстоянии, что и исход­ная. Идеальные центральносимметричные фигуры найдены всего две: усеченный октаэдр и «мяч». Эти фигуры - «чемпионы» сим­метричности, они относятся к группе симметрии куба и допуска­ют 48 преобразований симметрии. Треснувший куб и октаэдр менее симметричны (картину искажают впадины), но так или иначе эти фигуры венчают воображаемую пирамиду симметрии нашей «змейки».

Под уровнем симметрии будем понимать количество допусти­мых для данной фигуры операций симметрии. Не всегда сложить более симметричную фигуру сложнее, чем менее симметричную.

Так, например, «дом» допускает практически единственное реше­ние в отличие от «шлема», собрать который гораздо легче. А ведь «шлем» кроме оси симметрии имеет ещё и три зеркальные плос­кости, которых «дом» лишён из-за косых выступов на «крыше». Поэтому «дом» в пирамиде симметрии стоит на более низком уровне. Другими словами, уровень симметричности и степень сложности фигуры жестко не связаны. С уверенностью можно сказать одно: чем ближе к вершине нашей воображаемой пира­миды, тем меньше фигур. А количество фигур в её основании практически необозримо. Несомненно, поиск в областях, близле­жащих к вершине, наиболее интересен.

 

Фейерверк задач

 

При игре со «змейкой» можно ставить специальные задачи. Например, найти структуру наименьшего объема или наименьшей поверхности. Из фигур, которые удалось найти автору, этими свойствами обладает «шкатулка». Можно решать обратную за­дачу: найти фигуру максимального объема или максимальной по­верхности без отверстий. Еще задача: можно ли полностью упря­тать внутрь какой-либо тип граней? Последняя задача наиболее интересна при трёхцветной раскраске «змейки» (тетраэдры - светлые, треугольные грани полуоктаэдров — темные, квадрат­ные основания - любого третьего цвета). При её решении один из цветов исчезает. Автору удалось полностью «уничтожить» только квадраты (например, в «мяче» или в «кристалле»).

Если вас утомили строгие геометрические формы, можете свободно фантазировать. Лепите птиц, зверей и насекомых. Вообще говоря, игры из разряда «змей» резко отличаются от комбинаторных головоломок типа кубика Рубика, который уже дал изрядную статистику помешательств. Это вызвано тем, что поле поиска решений кубика представляет собой многомерную многосвязную сеть, где-то в глубине которой спрятано един­ственное верное решение. Бесконечное блуждание по внешне оди­наково бессмысленным сочетаниям цветов не способствует повы­шению настроения. А «змейки» недаром называют «лекарством от стресса». Игра с ними напоминает прогулки по лесным тро­пинкам, выводящим то на опушку, то на поляну, на которых всег­да обнаруживается что-то новое и интересное. Углубившись в этот лес, не всегда сразу выйдешь на искомую фигуру, но в лю­бой момент есть шанс обнаружить что-то свое, не менее занима­тельное.

Но вернёмся, однако, из воображаемого леса и посмотрим, по каким разделам математики «проползает» наша «змейка». Ус­тройство её - геометрическое, здесь есть и правильные геометри­ческие мозаики, и платоновы тела. Если же захочется точно под­считать число возможных состояний «змейки», то придется погрузиться в комбинаторику. Каждый тетраэдр может распола­гаться на двух гранях полуоктаэдра в трёх положениях - всего 6 сочетаний. Соединений элементов - 47, итого общее число кон­фигураций - б⁴⁷. Это, конечно, завышенная оценка. Чтобы найти точное число, следует исключить все случаи самопересечений, что само по себе очень непросто. Но даже после этой трудоемкой процедуры количество возможных положений выражается астро­номическим числом. Перебирать их все вслепую - занятие без­надежное. Можно предложить алгоритм игры со «змейкой», рас­падающийся на два этапа:

1. Выбор цели. На этом этапе нужно мысленно синтезиро­вать из игровых модулей некую пространственную фигуру, не об­ращая внимания на связность. Можно выбрать одну из предло­женных структур, но значительно интереснее создать свою. Такая возможность есть у каждого, кто взял в руки «змейку». Первый этап потребует от игрока объёмного пространственного видения, которое где-то сродни с художественным восприятием.

2. Выбор пути. Теперь нужно провести «змейку» через все ячейки фигуры - нашей цели. Эта задача относится к одному из интереснейших разделов математики - топологии, а точнее, к теории графов. Ведь если заменить игровые модули условными точками-вершинами и соединить соседние вершины отрезками-ребрами, то получится самый настоящий граф. Для разных фи­гур графы будут различной сложности. Графы контурных мно­гоугольников имеют предельно простой вид - это обычные цепоч­ки. У каждой вершины по два соседа, и задачи собственно нет - цель практически достигнута на первом этапе. Но для компакт­ных фигур ситуация иная, у каждого элемента появляется по нескольку соседей, каждая вершина графа обрастает рёбрами (их может быть до четырёх - по числу контактирующих граней одного элемента). Граф становится многосвязным. Теперь реше­ние второго этапа заключается в построении так называемой гамильтоновой линии графа - то есть линии, проходящей через все его вершины по одному разу. И вот тут-то игрок оказывается на переднем крае математического фронта, ибо задача существова­ния гамильтоновой линии для произвольного графа в общем слу­чае не решена. Можно действовать методом простого перебора с помощью компьютера, но лучше использовать интуицию.

Решив задачу второго этапа, кроме эстетического наслажде­ния вы испытаете еще одно чувство - удовлетворение от того, что вложили малую лепту в борьбу против тепловой смерти Все­ленной. Создав из хаоса возможностей строгую структуру, вы хоть чуть-чуть, хоть локально понизили энтропию.

Если взглянуть на предлагаемый алгоритм, несколько изме­нив точку зрения, можно заметить, что перед нами иллюстрация одного из видов творческого процесса (например, литературно­го). На первом этапе - синтезирование некоего многомерного объекта, на втором - последовательный обход его линейным объектом - аналогом одномерного текстового канала. Если шесть возможных положений соседних элементов «змейки» закодиро­вать цифрами, то линейная последовательность из 47 цифр несёт полную информацию о конкретной пространственной фигуре. Аналогия с творческим процессом, конечно, иллюстративная, но можно поставить интересный теоретический вопрос: почему «змейка» сворачивается в завершённые формы только при строго определенном количестве элементов - 24 пары тетраэдр - полу­октаэдр? Можно попытаться найти примерное направление поис­ков ответа. Число 24 не простое, простыми множителями его явля­ются три двойки и тройка (24 = Зх2³). Обратите внимание: двой­ка символизирует зеркальную симметрию - прямое и обратное изображения, чёт-нечет. А три - размерность пространства, количество отпущенных нам измерений.

Следует упомянуть и об укороченном, «детском», варианте ис­полнения игрушки - 8 пар тетраэдр - полуоктаэдр (рис.5). Детская «змейка» гораздо проще, освоить её легче, но при этом приходится расплачиваться разнообразием фигур. Те, кому даже полная «змейка» покажется слишком простой, могут заняться аг­регированием нескольких «змеек». На рис.6 приведены фигуры, каждая из которых складывается из двух «змеек». Легко заме­тить, что кубооктаэдр - это заполненный треснувший куб, а «дзот» - урезанный вариант «большого ежа».

В нашем пространстве существует большое количество моза­ик. Почему же из их богатой палитры человеку всего привычнее сухая кубическая мозаика с её унылой ортогональностью? Да по­тому, что мы живём в гравитационном мире и привыкли к верти­калям и горизонталям. Поэтому и стол, и кирпич, и дом - всего лишь трансформированные кубы. Нам нужны горизонтали, чтобы по ним ничего не катилось и не падало. Только крыши, которые как раз и должны сбрасывать воду, оживляют пейзаж. Глазу не­обходимы такие нарушения. А может, где-то царствует иное гео­метрическое устройство? Где-нибудь, где нет силы тяжести? По­пробуем бросить взгляд в микромир.

Рис. 5. Детская «змейка»:

а – «пропеллер», б – «шкатулочка», в – «грифон», г – «торпеда», д – «ёжик».

 

 

Рис. 6. Фигуры, складываемые из двух «змеек»:

а – «большой ёж», б – кубоактаэдр.

 

В начале нашего века родилась идея изображать молеку­лярные структуры не шарами, имитирующими атомы, а много­гранниками, получаемыми при соединении прямыми линиями центров атомов. Структуру любого кристалла можно моделиро­вать, плотно укладывая друг к другу многогранники, называемые координационными полиэдрами. Оказалось, что наиболее распро­страненными в кристаллических структурах полиэдрами являют­ся именно тетраэдры и октаэдры. В малых масштабах, где не господствует сила тяжести, они оказываются наиболее энергетически выгодными. Если вообразить, что в вершинах элементов нашей «змейки» находятся атомы, то обнаружится, что мы держим в ру­ках модель структуры золота, серебра, никеля, меди, алюминия, свинца, их смесей и целого ряда интерметаллических соединений. Вот в какие дали заползла «змейка»! От архитектурных форм до молекулярных структур, от кристаллографии до метрики Про­странства. Ведь «змейка» - это воплощенная Геометрия. В ней нет никакого тайного устройства, никакого скрытого механизма. Все её устройство - снаружи, в геометрии её частей. А Геомет­рия - везде, Геометрия пронизывает весь наш мир - от элемен­тарных частиц до надгалактических структур.

 

Как сделать «змейку» Генеля

 

На рис.3 приведено схематическое устройство «змейки». Способ соединения может быть любым. Автор использовал наи­более простой, но вполне надёжный способ - с применением сквозной гибкой связи, а попросту говоря, шляпной резинки. Де­тали «змейки» никак не соотносятся с прямоугольными паралле­лепипедами, поэтому делать их из брусков механической обра­боткой крайне нерационально. Наилучшим способом будет отлив­ка из эпоксидной смолы. Формы можно изготовить из ламиниро­ванного картона - очень хорошо подходят для этой цели пакеты из-под молока. Вырежьте развертки форм по контуру (рис. 7 и 8) и сложите их, перегнув по сплошным линиям к себе, а по пунктирным - от себя.

Рис.7. Разметки форм для отливки деталей «змейки»:

а – развёртка формы полуоктаэдра; б – развёртка формы тетраэдра.

 

Рис. 8. Форма для отливки полуоктаэдра в сборе.

Рис. 9. Фрезирование пазов полуоктаэдра с помощью кондуктора.

Рис. 10. Система фиксации:

1 – заклёпки с круглой шляпкой; 2 – конические углубления

 

Красить по поверхности изделия из эпоксидной смолы неце­лесообразно, проще окрасить их в объёме, добавив порошок кра­сителя при смешении компонентов. Наилучший эффект дает ок­раска тетраэдров в светлые тона, а полуоктаэдров - в тёмные. Для одной «змейки» их понадобится по 24 штуки.

В каждом тетраэдре просверлите по два отверстия в центрах граней, соединяющиеся в его геометрическом центре. С полуокта­эдрами сложнее. В них нужно просверлить по четыре отверстия в центрах треугольных граней, которые должны выйти в центр квадратного основания. Затем соедините отверстия попарно па­зами, выбрав между ними весь материал. Проще всего сделать это фрезерованием на кондукторе (рис. 9). В крайнем случае, если нет возможности выполнить операции фрезерования, пазы вырежьте лобзиком. Нетрудно заметить, что уже при сверлении в центре квадратного основания появляется отверстие неправиль­ной формы. Это отверстие позволяет продеть насквозь пилку лоб­зика и облегчает в дальнейшем протягивание резинки, но ухуд­шает внешний вид. После сборки основания полуоктаэдров за­кройте квадратами из липкой ленты, как это сделано в кубике Рубика. Тем самым достигаются две цели: маскируются техноло­гические отверстия и реализуется трехцветная раскраска «змей­ки».

Чтобы цепочка элементов держала форму, надо предусмот­реть систему фиксации. Один из возможных вариантов исполне­ния фиксаторов приведен на рис. 10.

=== ===